Научный успех Архимеда почти полностью основан на используемой им методологии. В целом применяемые ученым методы можно разделить на две группы: первая направлена на поиск интересующего его решения (механический метод), а вторая - на доказательство верности полученного результата. В работах Архимеда часто встречаются цитаты из текстов Евклида и других более ранних математиков, то есть он приводит многие решения как само собой разумеющееся и для краткости говорит о них в своих трудах, словно они всем известны. Таким образом, мы видим математика, который работает с достойными доверия источниками и умеет извлекать из них материал, необходимый для его собственных исследований. В наши дни для любых доказательств мы используем алгебраический язык (формулы с буквами, цифрами и математическими символами), но в рассматриваемое нами время, когда жил Архимед, такого языка еще не существовало. Вот почему его тексты нелегки для современного читателя, ведь все его рассуждения основываются на чисто геометрических понятиях. Далее мы представим некоторые математические открытия Архимеда и постараемся реконструировать путь его мысли, хотя для этого нам и придется прибегать к языку алгебры.

Метод механических теорем

Из книги «Метод механических теорем» можно понять, что Архимед не скрывал свои методы от научного сообщества того времени, как мы уже показывали на примере константинопольского палимпсеста. В частности, он отправил этот труд Эратосфену, решив, что в данном случае он попадет в хорошие руки и сможет послужить получению новых интересных результатов.

Несмотря на то что Герои цитирует эту книгу в своем трактате «Метрика», многие источники описывают Архимеда ученым, ревниво относившимся к своей работе и не склонным популяризировать свою методологию. К счастью, в 1906 году исследователь-эллинист Гейберг обнаружил «Метод» и другие труды ученого, содержащиеся в палимпсесте. На самом деле Архимед охотно обнародовал и свои открытия, и научные методы, приведшие к этим открытиям. Он даже побуждал Эратосфена воспользоваться его методикой, уверяя последнего, что «можно было бы использовать этот путь для того, чтобы достичь определенных научных результатов посредством механики».

[...] написав это, обнародовать данный метод потому, что я о нем уже раньше упоминал - а я не хочу, чтобы казалось, будто я занимался пустой болтовней, - а также и потому, что я убежден: он принесет немалую пользу для математики.

Из письма Архимеда Эратосфену в «Методе»

Таким образом, в данной работе Архимед объясняет собственный механический метод. Кроме механического метода трактат содержит и геометрический (метод исчерпывания), приписываемый Евдоксу. Механический метод здесь использован исключительно для приблизительного решения задач, которые требуют затем более строгого и убедительного доказательства геометрическими методами:

«[...] Ведь некоторые вещи, которые я сначала представлял механическим способом, затем были мной доказаны с помощью геометрии, [...] легче построить решение, уже имея определенные знания об исследуемых вещах, чем искать его без какого-либо начального знания».

Здесь важно заметить, что он приводит как нечто само собой разумеющееся некоторые результаты из собственной работы «О равновесии плоских фигур». Трактат дошел до нас не полностью - из него сохранились 16 утверждений с некоторыми важными уточнениями. В первых 11 автор представляет механический метод сам по себе, а в остальных описывает весь процесс, включая последующее доказательство с помощью вышеупомянутого метода исчерпывания. Архимед затрагивает большое количество вопросов, которые он уже исследовал в предыдущих трудах: например, квадратура сегмента параболы - темы, изложенной в книге «О квадратуре параболы». Первое утверждение трактата, проиллюстрированное на рисунке на следующей странице, звучит так:

«Пусть АВС - сегмент, заключенный между отрезком прямой АС и параболой АВС; поделим АС напополам точкой D и проведем прямую DBE параллельно оси параболы, а также отрезки АВ, ВС. Я утверждаю, что сегмент параболы АВС по площади равен четырем третьим треугольника АВС». («Метод механических теорем», утверждение 1.)

СТОМАХИОН

С небольшим трактатом «Стомахион» произошло то же самое, что и с «Методом»: на протяжении истории было множество свидетельств его существования, но найден он был лишь в 1906 году с открытием константинопольского палимпсеста. В IV веке Авзоний и Марий Викторин говорили о Loculus Archimedius (шкатулке Архимеда) из 14 пластинок слоновой кости, которые вместе составляют квадрат. Все, что осталось от трактата,- это изложение способа деления квадрата на 14 частей (рисунок 1). Кроме того, там приводятся соотношения площадей фрагментов и полного квадрата. Не очень понятно, было ли это главным содержанием «Стомахиона»: хотя некоторые усматривают здесь начало комбинаторики, другие считают данное описание не более чем развлечением, чем-то вроде пазла или танграма.

РИС. 1

Если мы наложим фигуры из «Стомахиона» на квадрат стороной в 12 клеток, площадь каждой фигуры будет такой же, какой она обозначена на рисунке. Простой способ воспроизвести данные фигуры - взять листок бумаги в клеточку. Числа на фигурах обозначают их площадь.

Лишь в 2003 году удалось провести строгий комбинаторный анализ, который показал, что существуют 17152 способа сложить фигуры из «Стомахиона» в целый квадрат, и это если не принимать во внимание возможность их поворота или зеркального отражения (рисунок 2).

Перемещая фрагменты, можно не только составить квадрат, но и создавать веселые фигурки вроде этого слона.

Воспроизведение геометрического чертежа, которым воспользовался Архимед, чтобы выяснить соотношение площадей сегмента параболы и вписанного в него треугольника. Основой для данного решения служит механический метод.

Исчерпывающая математика: метод исчерпывания

В древнегреческой математике в какой-то момент начался серьезный кризис, связанный с так называемыми невыразимыми числами, которые не могут быть представлены отношением целого числа к натуральному. В настоящее время такие числа называются иррациональными. Такое их свойство вызвало большие проблемы при сравнении криволинейных и прямолинейных фигур. Это значит, что греки сталкивались с серьезными сложностями, если хотели вычислить площадь круга или иных фигур, ограниченных кривыми, а также и некоторые другие величины, например диагональ квадрата. Данная проблема была частично решена благодаря методу исчерпывания, который можно считать предшественником современного исчисления бесконечно малых величин и вычисления предела. Уже Евклид использовал его в некоторых построениях в своих «Началах», а Архимед применял его в течение всей своей математической карьеры. И именно он назвал автором этого метода Евдокса во вступлении к своему трактату «Метод механических теорем».

Невозможно найти во всей геометрии более сложные и более важные вопросы, изложенные столь простыми и столь понятными словами, как в теоремах, созданных божественным разумом Архимеда.

Метод Исчерпывания

Метод исчерпывания, приписываемый Евдоксу, – то обобщение его теории пропорций. Также как иррациональная длина определяется рациональными длинами с той и другой ее стороны, более общие неизвестные величины становятся определяемыми сколь угодно близкими аппроксимациями, используя известные фигуры. Примеры, данные Евдоксом (и изложенные в Книге XII Начал Евклида), – аппроксимация круга внутренними и внешними многоугольниками и аппроксимация пирамиды пучками призм который показывает самую очевидную аппроксимацию, нехитрую, которую фактически использовал Евклид). Заметим, что ʼʼисчерпаниеʼʼ не означает использование бесконечной последовательности шагов, чтобы показать, что площадь пропорциональна квадрату радиуса. Скорее, показываешь, что любую непропорциональность можно опровергнуть за конечное число шагов. Это типично для способа, в котором аргументы исчерпания избегают упоминания пределов и бесконечности.

Метод исчерпывания довел до полной зрелости Архимед (287- 212 гᴦ. до н.э.). Среди его самых известных результатов были объём и площадь поверхности шара и площадь параболического сегмента. Архимед первым открыл эти результаты нестрогими методами, позлее подтвердив их методом исчерпывания. Возможно, самое интересное и естественное из его доказательств исчерпания – доказательство площади параболического сегмента.

Сегмент исчерпывается многоугольниками аналогично исчерпанию круга Евдокса, но площадь получается сразу и не только в пропорции к другой фигуре. Чтобы слегка упростить построение, мы допускаем, что сегмент разрезается хордой перпендикулярно оси симметрии параболы. Архимед делит параболический сегмент на треугольники, как показано на рисунке.

Средняя вершина каждого треугольника лежит на параболе на полпути между двумя другими (измеренными вертикально). Эти треугольники ясно исчерпывают параболический сегмент, и в связи с этим остается вычислить их площадь. Совершенно удивительно, это превращается в геометрический ряд.

Мы кратко укажем, как это случается. Поскольку ОР = ОХ , PQ = ½ PS по определœению параболы. С другой стороны, SR = ½PS , следовательно, QR=½PS . Теперь - это сумма треугольников RQZ и OQR , которые имеют одно и то же основание RQ и ʼʼвысотыʼʼ ОР = РХ следовательно, равную площадь. Мы только что видели, что RQZ имеет половину основания SRZ и имеет ту же самую высоту, следовательно, (называя фигуры равными, когда они имеют ту лее самую площадь)

= SRZ = ¼ OYZ =¼

Аналогично

и т. д., каждая новая цепочка треугольников имеет одну четвертую площади предыдущей цепочки. В результате,

Конечно, Архимед не пользуется бесконечным рядом, а использует исчерпание, показывая, что любую площадь можно превысить, взяв достаточно много треугольников. Сумма конечного геометрического ряда, необходимая для этого, была известна из Начал Евклида, Книга IX, где Евклид использовал ее для теоремы о совершенных числах.

Метод Исчерпывания - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Метод Исчерпывания" 2017, 2018.

АРХИМЕД (ок. 287-212 до н.э.), величайший древнегреческий математик и механик.

Жизнь.

Уроженец греческого города Сиракузы на острове Сицилия, Архимед был приближенным управлявшего городом царя Гиерона (и, вероятно, его родственником). Возможно, какое-то время Архимед жил в Александрии - знаменитом научном центре того времени. То, что сообщения о своих открытиях он адресовал математикам, связанным с Александрией, например Эратосфену , подтверждает мнение о том, что Архимед являлся одним из деятельных преемников Евклида , развивавших математические традиции александрийской школы. Вернувшись в Сиракузы, Архимед находился там вплоть до своей гибели при захвате Сиракуз римлянами в 212 до н.э.

Дата рождения Архимеда (287 до н.э.) определяется исходя из свидетельства византийского историка 12 в. Иоанна Цеца, согласно которому он «прожил семьдесят пять лет». Яркие картины его гибели, описанные Ливием , Плутархом и Валерием Максимом, различаются лишь в деталях, но сходятся в том, что Архимеда, занимавшегося в глубокой задумчивости геометрическими построениями, зарубил римский воин. Кроме того, Плутарх сообщает, что Архимед, «как утверждают, завещал родным и друзьям установить на его могиле описанный вокруг шара цилиндр с указанием отношения объема описанного тела к вписанному», что было одним из наиболее славных его открытий. Цицерон, который в 75 до н.э. был на Сицилии, обнаружил выглядывавшее из колючего кустарника надгробие и на нем - шар и цилиндр.

Убийство Архимеда Римлянином.

Легенды об Архимеде.

В наше время имя Архимеда связывают главным образом с его замечательными математическими работами, однако в античности он прославился также как изобретатель различного рода механических устройств и инструментов, о чем сообщают авторы, жившие в более позднюю эпоху. Правда, авторство Архимеда во многих случаях вызывает сомнения. Так, считается, что Архимед был изобретателем т.н. архимедова винта, который служил для подъема воды на поля и явился прообразом корабельных и воздушных винтов, хотя, судя по всему, такого рода устройство использовалось и раньше. Не внушает особого доверия и то, что рассказывает Плутарх в Жизнеописании Марцелла . Здесь говорится, что в ответ на просьбу царя Гиерона продемонстрировать, как тяжелый груз может быть сдвинут малой силой, Архимед «взял трехмачтовое грузовое судно, которое перед этим с превеликим трудом вытянули на берег много людей, усадил на него множество народа и загрузил обычным грузом. После этого Архимед сел поодаль и стал без особых усилий тянуть на себя канат, перекинутый через полиспаст, отчего судно легко и плавно, словно по воде, «поплыло» к нему». Именно в связи с этой историей Плутарх приводит замечание Архимеда, что, «если бы имелась иная Земля, он сдвинул бы нашу, перейдя на ту» (более известный вариант этого высказывания сообщает Папп Александрийский: «Дайте мне, где стать, и я сдвину Землю»). Вызывает сомнение и подлинность истории, поведанной Витрувием, что будто бы царь Гиерон поручил Архимеду проверить, из чистого ли золота сделана его корона или же ювелир присвоил часть золота, сплавив его с серебром. «Размышляя над этой задачей, Архимед как-то зашел в баню и там, погрузившись в ванну, заметил, что количество воды, переливающейся через край, равно количеству воды, вытесненной его телом. Это наблюдение подсказало Архимеду решение задачи о короне, и он, не медля ни секунды, выскочил из ванны и, как был нагой, бросился домой, крича во весь голос о своем открытии: «Эврика! Эврика!» (греч. «Нашел! Нашел!»)».

Более достоверным представляется свидетельство Паппа, что Архимеду принадлежало сочинение Об изготовлении [небесной ] сферы , речь в котором шла, вероятно, о построении модели планетария, воспроизводившей видимые движения Солнца, Луны и планет, а также, возможно, звездного глобуса с изображением созвездий. Во всяком случае Цицерон сообщает, что тот и другой инструмент захватил в Сиракузах в качестве трофеев Марцелл. Наконец, Полибий, Ливий, Плутарх и Цец сообщают о грандиозных баллистических и иных машинах, построеннных Архимедом для отражения римлян.

Математические труды.

Сохранившиеся математические сочинения Архимеда можно разделить на три группы. Сочинения первой группы посвящены в основном доказательству теорем о площадях и объемах криволинейных фигур или тел. Сюда относятся трактаты О шаре и цилиндре , Об измерении круга , О коноидах и сфероидах , О спиралях и О квадратуре параболы . Вторую группу составляют работы по геометрическому анализу статических и гидростатических задач: О равновесии плоских фигур , О плавающих телах . К третьей группе можно отнести различные математические работы: О методе механического доказательства теорем , Исчисление песчинок , Задача о быках и сохранившийся лишь в отрывках Стомахион . Существует еще одна работа - Книга о предположениях (или Книга лемм ), сохранившаяся лишь в арабском переводе. Хотя она и приписывается Архимеду, в своем нынешнем виде она явно принадлежит другому автору (поскольку в тексте имеются ссылки на Архимеда), но, возможно, здесь приведены доказательства, восходящие к Архимеду. Несколько других работ, приписываемых Архимеду древнегреческими и арабскими математиками, утеряны.

Дошедшие до нас работы не сохранили своей первоначальной формы. Так, судя по всему, I книга трактата О равновесии плоских фигур является отрывком из более обширного сочинения Элементы механики ; кроме того, она заметно отличается от II книги, написанной явно позднее. Доказательство, упоминаемое Архимедом в сочинении О шаре и цилиндре , было утрачено ко 2 в. н.э. Работа Об измерении круга сильно отличается от первоначального варианта, и предложение II в ней скорее всего заимствовано из другого сочинения. Заглавие О квадратуре параболы вряд ли могло принадлежать самому Архимеду, так как в его время слово «парабола» еще не использовалось в качестве названия одного из конических сечений. Тексты таких сочинений, как О шаре и цилиндре и Об измерении круга , скорее всего, подвергались изменениям в процессе перевода с дорийско-сицилийского на аттический диалект.

При доказательстве теорем о площадях фигур и объемах тел, ограниченных кривыми линиями или поверхностями, Архимед постоянно использует метод, известный как «метод исчерпывания». Изобрел его, вероятно, Евдокс (расцвет деятельности ок. 370 до н.э.) - по крайней мере, так считал сам Архимед. К этому методу время от времени прибегает и Евклид в XII книге Начал . Доказательство с помощью метода исчерпывания, в сущности, представляет собой косвенное доказательство от противного. Иначе говоря, утверждение «А равно В» считается истинным в том случае, когда принятие противоположного утверждения, «А не равно В», ведет к противоречию. Основная идея метода исчерпывания заключается в том, что в фигуру, площадь или объем которой требуется найти, вписывают (или вокруг нее описывают, либо же вписывают и описывают одновременно) правильные фигуры. Площадь или объем вписанных или описанных фигур увеличивают или уменьшают до тех пор, пока разность между площадью или объемом, которые требуется найти, и площадью или объемом вписанной фигуры не становится меньше заданной величины. Пользуясь различными вариантами метода исчерпывания, Архимед смог доказать различные теоремы, эквивалентные в современной записи соотношениям S = 4p r 2 для площади поверхности шара, V = 4/3p r 3 для его объема, теореме о том, что площадь сегмента параболы равна 4/3 площади треугольника, имеющего те же оcнование и высоту, что и сегмент, а также многие другие интересные теоремы.

Ясно, что, используя метод исчерпывания (который является скорее методом доказательства, а не открытия новых соотношений), Архимед должен был располагать каким-то другим методом, позволяющим находить формулы, которые составляют содержание доказанных им теорем. Один из методов нахождения формул раскрывает его трактат О механическом методе доказательства теорем . В трактате излагается механический метод, при котором Архимед мысленно уравновешивал геометрические фигуры, как бы лежащие на чашах весов. Уравновесив фигуру с неизвестной площадью или объемом с фигурой с известной площадью или объемом, Архимед отмечал относительные расстояния от центров тяжести этих двух фигур до точки подвеса коромысла весов и по закону рычага находил требуемые площадь или объем, выражая их соответственно через площадь или объем известной фигуры. Одно из основных допущений, используемых в методе исчерпывания, состоит в том, что площадь рассматривается как сумма чрезвычайно большого множества плотно прилегающих друг к другу «материальных» прямых, а объем - как сумма плоских сечений, тоже плотно прилегающих друг к другу. Архимед считал, что его механический метод не имеет доказательной силы, но позволяет получить предварительный результат, который впоследствии может быть доказан более строгими геометрическими методами.

Хотя Архимед был в первую очередь геометром, он совершил ряд интересных экскурсов и в область численных расчетов, пусть примененные им методы и не вполне ясны. В предложении III сочинения Об измерении круга он установил, что число p меньше и больше . Из доказательства видно, что он располагал алгоритмом получения приближенных значений квадратных корней из больших чисел. Интересно отметить, что у него приведена и приближенная оценка числа , а именно: . В сочинении, известном под названием Исчисление песчинок , Архимед излагает оригинальную систему представления больших чисел, позволившую ему записать число , где само Р равно . Эта система потребовалась ему, чтобы сосчитать, сколько песчинок понадобилось бы, чтобы заполнить Вселенную.

В труде О спирали Архимед исследовал свойства т.н. архимедовой спирали, записал в полярных координатах характеристическое свойство точек спирали, дал построение касательной к этой спирали, а также определил ее площадь.

В истории физики Архимед известен как один из основоположников успешного применения геометрии к статике и гидростатике. В I книге сочинения О равновесии плоских фигур он приводит чисто геометрический вывод закона рычага. По сути, его доказательство основано на сведении общего случая рычага с плечами, обратно пропорциональными приложенным к ним силам, к частному случаю равноплечего рычага и равных сил. Все доказательство от начала и до конца пронизано идеей геометрической симметрии.

В своем сочинении О плавающих телах Архимед применяет аналогичный метод к решению задач гидростатики. Исходя из двух допущений, сформулированных на геометрическом языке, Архимед доказывает теоремы (предложения) относительно величины погруженной части тел и веса тел в жидкости как с большей, так и с меньшей плотностью, чем само тело. В предложении VII, где говорится о телах более плотных, чем жидкость, выражен т.н. закон Архимеда, согласно которому «всякое тело, погруженное в жидкость, теряет по сравнению со своим весом в воздухе столько, сколько весит вытесненная им жидкость». В книге II содержатся тонкие соображения относительно устойчивости плавающих сегментов параболоида.

Влияние Архимеда.

В отличие от Евклида, Архимеда вспоминали в античности лишь от случая к случаю. Если мы что-то знаем о его работах, то лишь благодаря тому интересу, который питали к ним в Константинополе в 6-9 в. Эвтокий, математик, родившийся в конце 5 в., прокомментировал по крайней мере три работы Архимеда, по-видимому, наиболее известные в то время: О шаре и цилиндре , Об измерении круга и О равновесии плоских фигур . Работы Архимеда и комментарии Эвтокия изучали и преподавали математики Анфимий из Тралл и Исидор из Милета, архитекторы собора св. Софии, возведенного в Константинополе в правление императора Юстиниана. Реформа преподавания математики, которую проводил в Константинополе в 9 в. Лев Фессалоникийский, по-видимому, способствовала собиранию работ Архимеда. Тогда же он стал известен мусульманским математикам. Теперь мы видим, что арабским авторам недоставало некоторых наиболее важных работ Архимеда, таких как О квадратуре параболы , О спиралях , О коноидах и сфероидах , Исчисление песчинок и О методе . Но в целом арабы овладели методами, изложенными в других работах Архимеда, и нередко блестяще ими пользовались.

Средневековые латиноязычные ученые впервые услышали об Архимеде в 12 в., когда появились два перевода с арабского на латынь его сочинения Об измерении круга . Лучший перевод принадлежал знаменитому переводчику Герарду Кремонскому, и в последующие три столетия он послужил основой многих изложений и расширенных версий. Герарду принадлежал также перевод трактата Слова сынов Моисеевых арабского математика 9 в. Бану Мусы, в котором приводились теоремы из сочинения Архимеда О шаре и цилиндре с доказательством, аналогичным приведенному у Архимеда. В начале 13 в. Иоанн де Тинемюэ перевел сочинение О криволинейных поверхностях , по которому видно, что автор был знаком с другой работой Архимеда - О шаре и цилиндре . В 1269 доминиканец Вильгельм из Мербеке перевел с древнегреческого весь корпус работ Архимеда, кроме Исчисления песчинок , Метода и небольших сочинений Задача о быках и Стомахион . Для перевода Вильгельм из Мербеке использовал две из трех известных нам византийских рукописей (рукописи А и В). Мы можем проследить историю всех трех. Первая из них (рукопись А), источник всех копий, снятых в эпоху Возрождения, по-видимому, была утрачена примерно в 1544. Вторая рукопись (рукопись В), содержавшая работы Архимеда по механике, в том числе сочинение О плавающих телах , исчезла в 14 в. Копий с нее снято не было. Третья рукопись (рукопись С) не была известна до 1899, а изучать ее стали лишь с 1906. Именно рукопись С стала драгоценной находкой, так как содержала великолепное сочинение О методе , известное ранее лишь по отрывочным фрагментам, и древнегреческий текст О плавающих телах , исчезнувший после утраты в 14 в. рукописи В, которую использовал при переводе на латынь Вильгельм из Мербеке. Этот перевод имел хождение в 14 в. в Париже. Он использовался также Якобом Кремонским, когда в середине 15 в. тот предпринял новый перевод корпуса сочинений Архимеда, входивших в рукопись А (т.е. за исключением сочинения О плавающих телах ). Именно этот перевод, несколько поправленный Региомонтаном, был опубликован в 1644 в первом греческом издании трудов Архимеда, хотя некоторые переводы Вильгельма из Мербеке были изданы в 1501 и 1543. После 1544 известность Архимеда начала возрастать, и его методы оказали значительное влияние на таких ученых, как Симон Стевин и Галилей , а тем самым, хотя и косвенно, воздействовали на формирование современной механики.

14.04.2018 - 5:26

Большинство школьных учебников, изданных за последние сотни лет, пронизаны идеями "прогресса" или "эволюции" – представлениями, что каждое следующее поколение человечества знает и умеет больше и лучше, чем предыдущее. А если сравнивать времена десятки или сотни поколений назад, то контраст становится просто вопиющим.

Мудрость древних

Действительно, стоит только посмотреть на портреты или бюсты солидных ученых мужей, которыми часто проиллюстрированы соответствующие параграфы: высокие лбы, умудренные морщинами лица, серьезные глаза, солидные всклокоченные бороды, – а затем сравнить их с тем, что в тех же параграфах подается как наивысшее достижение этих ученых, чтобы хмыкнуть со смесью высокомерия и презрения.

Ха! Они всю жизнь размышляли и трудились, читали бесчисленные труды других мыслителей, спорили с подобными себе, чтоб создать какую-то теорему Фалеса или закон Паскаля, которые теперь любой ребенок не самых старших классов усваивает за несколько уроков. Разве это не явное свидетельство прогресса?

Нет-нет, такое пренебрежительное отношение никогда не преподносится явно, наоборот, на словах наши книги всячески превозносят мудрость древних. Однако стоит сложить два и два, и даже самый отстающий школьник сообразит: если это мудрость, то что же в те времена было глупостью?! Какими же примитивными были наши предки!

Именно в таком свете весьма правдоподобными кажутся представления о том, что еще несколько тысяч назад по всему миру скакали дикари в набедренных повязках с грубо высеченными каменными топорами, для которых даже лук со стрелами казался вершиной технологического гения. А еще раньше? Забудьте! Обезьяны, просто обезьяны. Кое-какие противоречия с такой картиной развития цивилизации – например, "темные века" средневековой Западной Европы или удивительные "семь чудес света" кажутся не более чем исключениями, подтверждающими правило.

Закон Архимеда

Но насколько оправдано такое превозношение над гениями прошедших веков? Действительно ли то, что если бы один из них попал каким-то образом в наши дни, то любой ученик средней школы легко сравнился бы с ним по уровню умственного развития? Да и тот мог бы сразить его наповал каким-то логарифмом или интегралом?

Обратимся к одному из самых, казалось бы, знакомых нам мыслителей древнего мира. Архимед. Историю его знают все, правда? О нем рассказывается в бесчисленных книгах и научно-популярных фильмах, даже в нескольких детских мультфильмах. Забавный старик, который голым носился по городу с криками "Эврика!", после того, как на простом опыте в собственной ванной обнаружил, что "на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости".

С помощью этого принципа, названного позже "законом Архимеда", он научился измерять объем тел произвольно сложной формы. И попутно помог тирану Сиракуз вывести на чистую воду ювелира-обманщика, сделавшего на заказ венец не из чистого золота, а из сплава золота с серебром. Еще он был знаменитым механиком, автором "Архимедова винта" и многочисленных военных машин и механизмов, наводивших ужас на древнеримских захватчиков. Те, правда, несмотря на все хитрые боевые приспособления все равно как-то взяли Сиракузы, а бедный Архимед погиб от руки невежественного римского солдата за то, что потребовал "не трогать его чертежи".

А, вот, еще он сказал: "Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю!" – что, несмотря на свое внушительное звучание, было не более чем иллюстрацией простейшего механического принципа рычага. Ну вот, пожалуй, и все, так?

Знания Ойкумены

Увы, и близко не так. Любая мало-мальски серьезная биография расскажет нам, что Архимед был не только выдающимся философом, естествоиспытателем и изобретателем, но, прежде всего, одним из крупнейших математиков греко-римской эпохи. Он был далеко не самоучкой, а получил прекрасное образование в Александрии Египетской, главном научном центре того времени, и всю жизнь состоял в переписке с учеными оттуда.

Объем знаний, доступных в Александрии III века до нашей эры, превосходит всякое воображение, поскольку там были собраны не только достижения всех народов Средиземноморского бассейна, но, благодаря походам Александра Македонского, также и множества загадочных цивилизаций Междуречья, Персии и даже долины Инда. Так что через Архимеда мы можем надеяться хотя бы слегка прикоснуться к знаниям практически всей "Ойкумены".

Более того, историки науки обоснованно считают, что про Архимеда нам известно гораздо больше, чем про любого другого древнего математика. Правда, они тут же добавляют, что о других мы не знаем вообще практически ничего. Так что и об Архимеде нам известно до обидного мало. Конечно, превосходная математическая репутация Архимеда ни у кого не вызывала сомнения на протяжении тысячелетий, но чем дальше тем больше вопросов возникало по поводу того, какие именно результаты и, самое главное, КАК были им достигнуты.

Утерянные доказательства

Дело в том, что очень мало оригинальных трудов Архимеда дошло не только до наших дней, но даже до эпохи Ренессанса, когда впервые за многие сотни лет возник интерес к серьезной математике. Речь идет, конечно, не о рукописях, написанных его собственной рукой, но хотя бы о достоверных копиях копий или полноценных переводах на другие языки.

К сожалению, огромная часть наследия древности сохранилась лишь в цитатах, приводимых другими, иногда гораздо более поздними авторами, и это касается не только Архимеда, но и абсолютно всех остальных замечательных античных ученых и философов. То, что, как нам кажется, мы знаем о них – это лишь очень малая часть того, чего они реально достигли. К тому же, в эту малую часть привнесены мириады случайных и намеренных искажений множества переписчиков, переводчиков и комментаторов, далеко не все из которых были одинаково честными и добросовестными.

Мало того, как и многие математики ранних эпох, Архимед в своих работах далеко не всегда приводил подробные доказательства своих формул и теорем. Это было связано как с тем, что для практического применения доказательство не требуется, так и с тем, что всегда существовал круг завистников, желающих присвоить значимый результат себе. Хранение в тайне метода доказательства делало возможным подтвердить свое авторство или опровергнуть авторство самозванца, если в том возникала нужда. Иногда, чтобы еще более запутать ситуацию, выпускались ложные доказательства с намеренно введенными в них неточностями и ошибками.

Конечно, когда результат получал всеобщее признание, верные доказательства все-таки публиковались, но, по понятной причине, количество рукописей, которые их фиксировали, было гораздо меньше, чем количество тех, где приводилось лишь окончательное решение. Усложнялось все еще и тем, что в древнегреческой математике чертежи не только иллюстрировали текст доказательства, но и сами были существенной его частью – а далеко не каждый переписчик был достаточно искусен в копировании сложных геометрических фигур. Из-за этого многие доказательства оказывались утерянными навсегда.

Метод Архимеда

На протяжении примерно тысячи лет среди таких навсегда утерянных для человечества трудов числился и трактат Архимеда "Метод теорем механики", часто известный как просто "Метод". Именно в нем Архимед подробно объяснял то, как он достиг некоторых своих наиболее удивительных результатов.

Значение его для понимания наследия этого древнегреческого мыслителя столь велико, что историки науки иногда называют этот трактат "слепком мозга Архимеда". Не имея доступа хотя бы к отрывкам из этого текста, определить истинный уровень математических знаний и навыков Архимеда считалось практически невозможным.

Первый проблеск надежды на то, что этот труд, возможно, все же сохранился, появился к середине XIX века. Захват наполеоновской армией Египта и вывоз оттуда в Европу огромного количества культурных ценностей пробудил среди просвещенных людей интерес к изучению Древнего Востока. На тот момент квинтэссенцией всей древней истории считалась Библия, но ее авторитет был в некоторой степени подорван критикой мыслителей эпохи Просвещения.

Непосредственное изучение памятников ушедших цивилизаций открывало возможность подтвердить фактами библейский текст, и многие европейцы и американцы с энтузиазмом взялись за это дело. Кто-то ездил по ближневосточным странам в поисках утраченных произведений искусства, кто-то за свой счет раскапывал руины погибших городов, а кто-то искал в библиотеках ближневосточных стран давно забытые рукописи.

Библейский ученый

Увы, несмотря на то, что многими из этих "библейских ученых" XIX века были достигнуты удивительные результаты, в массе своей они были очень далеки от профессионализма. Что прекрасно иллюстрирует следующий эпизод. Хорошо известный немецкий "библейский ученый" Константин фон Тишендорф в 1840-х годах работал в библиотеках Константинополя.

Оттуда он привез домой страницу заинтересовавшей его рукописи, на которой он заметил какие-то полустертые сложные математические вычисления на греческом.

Как ни прискорбно это признавать, но, по-видимому, он просто вырвал ее из книги, когда библиотекарь смотрел в другую сторону. Сейчас эта страница хранится в Кембриджской университетской библиотеке, одновременно как свидетельство удивительного случайного открытия и варварского отношения некоторых западных "ученых" к наследию древности.

Хотя чуть позже эта страница сыграла свою роль в обретении наследия Архимеда, настоящая заслуга открытия книги, которая позже стала известна как Палимпсест Архимеда, принадлежит не Тишендорфу, а безвестному турецкому библиотекарю. Во время составления каталога он тоже обратил внимание на строчки математических выкладок и привел выдержку из них в каталоге библиотеки, который был опубликован и разослан по всему миру.

Удивительный документ

В начале XX века этот каталог попал в руки датского историка и филолога Йогана Людвига Хайберга, который был заинтригован настолько, что не поленился добраться до Константинополя, и ознакомился с книгой лично в 1906-м году. То, что он увидел, потрясло его до глубины души.

Оказывается, к нему в руки попал удивительный документ. На первый взгляд, довольно заурядная богослужебная книга из пустынного монастыря Мар Саба, близ Иерусалима, переписанная в XIII веке. Но если присмотреться, поперек литургического текста шли еле заметные строки на более раннем греческом, изобилующие научными и философскими терминами. Любому специалисту, знакомому с культурой средневековья, было сразу ясно, что это означает.

Увы, пергамент, на котором писались средневековые книги, изготовлялся из телячьей кожи и был дорогой вещью. Поэтому нехватка этого материала часто решалась довольно прямолинейно: менее нужные книги разделяли на отдельные листы, с этих листов счищались чернила, затем они сшивались заново и на них писали новый текст. Термин "палимпсест" как раз и обозначает рукопись поверх счищенного текста.

В случае с Палимпсестом Архимеда каждый из исходных листов был к тому же сложен пополам, чтобы получить книгу меньшего формата. Поэтому и получилось, что новый текст был написан поперек старого. В качестве писчего материала неизвестный монах-переписчик использовал сборники научных и политических трудов, составленные в Византийской Империи примерно в 950-х годах. К счастью, очистка была произведена не очень тщательно, что и позволило обнаружить исходный текст.

Предварительный осмотр Хайбергом показал, что авторство большего числа текстов X века принадлежит ни кому иному, как Архимеду и, что самое главное, среди них присутствует почти в полном объеме вожделенный "Метод"! К сожалению, библиотека запретила выносить рукопись из своих помещений (после знакомства с персонажами вроде Тишендорфа, кто может их винить?), поэтому ученый нанял фотографа, переснявшего для него весь кодекс. После чего, вооруженный не более, чем лупой, Хайберг занялся кропотливой расшифровкой фотокопии. Ему удалось разобрать очень многое, и окончательный результат был опубликован в 1910-15 гг, довольно быстро был издан и английский перевод. Открытие потерянного труда Архимеда вызвало немало шума и даже попало на передовицу "Нью-Йорк Таймс".

Но сложная судьба Палимпсеста Архимеда на этом не закончилась. В период Первой Мировой войны (в результате которой Османская империя прекратила свое существование) и во время разрухи сразу после нее, в Константинополе было совершенно не до древних рукописей. Как во времена Наполеона из Египта, в 1920-х годах огромный поток турецких ценностей потек в Европу. Лишь гораздо позже удалось установить, что некий частный коллекционер смог приобрести и вывезти Палимпсест в Париж. Где тот на долгое время стал просто диковинкой, вращающейся в мире, очень далеком от знаний.

Кодекс из небытия

Интерес к книге возродился лишь в 1971 году, и опять благодаря библиотечному каталогу. Специалист по древнегреческой культуре из Оксфорда Найджел Вильсон обратил внимание на интересный документ из Кембриджской библиотеки, уже знакомую нам страницу, грубо выдранную Тишендорфом.

Дело в том, что поиск по словарям древнегреческого указывал на то, что некоторые термины, употребленные на странице, были характерны именно для работ Архимеда.

Вильсон получил разрешение на более тщательное исследование документа и не только подтвердил, что страница относится к Палимпсесту, но и доказал, что с помощью недоступных ранее технологий (таких, как ультрафиолетовое освещение) текст X века можно восстановить полностью.

Дело оставалось за малым – найти канувший в небытие кодекс. Академический мир начал интенсивные поиски, но они ни к чему не привели. Наконец, в 1991 году сотрудник одного из ведущих аукционных домов мира "Кристис" получил письмо от некоей французской семьи, в котором утверждалось, что они желают выставить на аукцион тот самый Палимпсест. Новость была воспринята с изрядной долей скептицизма, но последующая экспертиза вынесла неожиданно положительный вердикт.

В результате сенсационных торгов документ был продан анонимному миллиардеру за 2 миллиона долларов. Все ученые мира затаили дыхание – ведь по воле нового владельца книга могла быть просто закрыта в сейф навсегда.

Настоящий кошмар

К счастью, страхи оказались напрасными. Когда Вилл Ноэль, куратор рукописей музея искусств Вальтерса в Балтиморе (США) обратился к агенту владельца с просьбой получить разрешение на реставрацию и изучение Палимпсеста, его инициатива была воспринята с энтузиазмом. Говорят, что миллиардер заработал свое состояние на высоких технологиях и потому сам был не так уж далек от науки и ее интересов.

С 1999 по 2008 гг. целая группа специалистов из самых разных областей, от филологии и искусствоведения до спектроскопии и компьютерного анализа данных, занималась восстановлением и сканированием Палимпсеста Архимеда. Это был непростой труд.

Сам Ноэль так описывает свое первое впечатление от рукописи: "Я был в ужасе, в омерзении, это абсолютно отвратительный документ, он выглядит очень, очень, очень уродливо, совершенно не похоже на великий артефакт. Просто кошмар, настоящий кошмар! Обгоревший, с обилием клея ПВА вдоль торца, под затеками этого клея скрыто многое из текста Архимеда, который мы собирались восстанавливать. Везде канцелярская замазка, страницы обклеены бумажными полосками. Просто нет слов, чтоб описать плохое состояние Палимпсеста Архимеда."

В монастыре книга активно использовалась в богослужениях, поэтому во многих местах она заляпана свечным воском. В загадочный период 1920-1990 гг. кто-то сфальсифицировал на некоторых страницах красочные "древневизантийские" миниатюры, пытаясь поднять стоимость рукописи. Но главная беда была в том, что весь кодекс был серьезно поврежден плесенью, в некоторых местах проевшей страницы насквозь.

Песчинки во Вселенной

Но были и радости. Когда кодекс был расшит на отдельные листы, обнаружилось, что многие строки текста Архимеда были скрыты внутри переплета и потому недоступны Хайбергу – иногда это были ключевые моменты в доказательстве теорем.

Съемка в разных диапазонах электромагнитного спектра, от инфракрасного до рентгеновского, с последующей компьютерной обработкой изображений, позволила реконструировать буквы текста X века даже там, где они были чем-то скрыты или полностью невидимы невооруженным глазом.

Но к чему весь этот кропотливый труд? Зачем многолетние поиски? Что в тексте трудов Архимеда, и, в частности, скрытого от нас в течение тысячелетия "Метода", можно найти такого, что оправдало бы энтузиазм ученых по отношению к Палимпсесту Архимеда?

Давным-давно было известно, что Архимед интересовался очень большими числами и очень малыми величинами, причем соединяя одно с другим. Например, для вычисления длины окружности он вписывал ее в многоугольник с большим числом, но малой длиной сторон. Или интересовался количеством мельчайших песчинок во Вселенной, которое представлялось в виде громадного числа. Это является приближением к тому, что в наши дни называется бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Но был ли Архимед способен оперировать математической бесконечностью в истинном, современном смысле этого слова?

Интегралы Архимеда

а первый взгляд, бесконечность – не более чем отвлеченная математическая абстракция. Но только после того, как математики научились оперировать этой категорией, появился так называемый "математический анализ", математический подход к описанию любых изменений и, в частности, движения. Этот подход лежит в основе практически любых современных инженерных, физических и даже экономических расчетов, без него нельзя построить небоскреб, сконструировать самолет или рассчитать выход спутника на орбиту.

Основа нашего современного математического анализа, дифференциальное и интегральное исчисление, были созданы Ньютоном и Лейбницем в конце XVII века, и почти сразу же мир начал изменяться. Таким образом, именно работа с бесконечностью отличает цивилизацию лошадиной тяги и ветряных мельниц не только от цивилизации компьютеров и космических кораблей, но даже от цивилизации паровых машин и железных дорог.

Так что вопрос о бесконечности имеет огромное, можно даже сказать "цивилизационно-определяющее" значение. И после трудов Хайберга в начале XX века и, в особенности, после работы команды Ноэля несколько лет назад, поставившей многие точки над "i", ответ на этот вопрос весьма однозначный и эмфатический: да, Архимед прекрасно знал концепцию бесконечности, и не только теоретически оперировал ею, но и практически применял ее в вычислениях! Его выкладки безукоризненны, его доказательства выдерживают тщательную проверку современными математиками. Забавно, он довольно часто применяет то, что в современной математике называется "суммами Римана", в честь известного математика… XIX века.

При вычислении объемов Архимед пользуется методикой, которую нельзя не назвать интегральным исчислением. Правда, если подробно вчитаться в его выкладки, складывается ощущение, что это интегральное исчисление "из другого мира". Хотя многое перекликается с тем, что сегодня знакомо нам, некоторые подходы выглядят совершенно чуждыми и неестественными. Они не хуже, и не лучше, они просто другие. И от этого пробирает мороз по коже: это высшая математика, генетически никак не связанная с современной! Через тысячелетия после Архимеда ученые нового времени изобрели все это с нуля, заново, с тем же содержанием, но в несколько другой форме.

Метод исчерпывания

К сожалению, Палимпсест Архимеда не дает и не может дать ответ на другой интригующий вопрос: в какой степени такие способы вычисления были уникальными для Архимеда и отражали его собственную гениальность, а в какой были типичными для греко-римских математиков и инженеров в целом? По крайней мере один метод вычисления типа математического анализа, которым Архимед владеет в совершенстве, можно проследить приблизительно до V века до н. э. Это "метод исчерпывания", разработку которого в Древней Греции обычно связывают с именем Евдокса Книдского, хотя есть данные, что его знали и ранее.

Конечно, впоследствии этот метод тоже был то ли изобретен заново, то ли реконструирован в XVII веке. Опыт математики последних столетий нам подсказывает, что ученые, прекрасно владеющие прикладной математикой, очень редко отвечают за теоретические прорывы. Архимед же, в первую очередь, прикладник, он интересуется задачами о вычислении конкретных длин, площадей, объемов.

Так что, вполне может быть, что его методика по работе с бесконечными величинами была не столько разработана, сколько доработана или переработана им. Но если ученые Александрийской или какой-то другой научной школы древнего мира свободно владели математическим анализом, ключом к современным технологиям, что еще они могли знать и уметь? Дух захватывает от горизонтов, которые открывает такое предположение.

Горький урок

Теперь, зная историю Палимпсеста Архимеда, можно отступить на шаг и задуматься. Да, к глубокому сожалению его открытие запоздало. В XX веке он стал сенсацией, но сенсацией лишь среди специалистов по истории науки. Но что бы было, сложись его история иначе? Если бы эта рукопись попала в руки ученых на 100, 300, 500 лет раньше? Что, если бы эту книгу еще на школьной скамье читал Ньютон? Или Коперник? Или ?

Современные исследователи с уверенностью утверждают, что даже для математиков XIX века этот труд представлял бы более чем академический интерес. Для математиков XVII-XVIII века значение его было бы огромно.

А в эпоху Ренессанса, попав в нужные руки, он бы просто произвел эффект разорвавшейся бомбы, полностью перекроив будущее развитие математики и инженерной мысли. Чего мы лишились, потеряв на века доступ всего к одной античной книге? Городов на Марсе, межзвездных космических кораблей, экологически чистых термоядерных реакторов? Мы никогда не узнаем…

Но этот горький урок не должен пропасть зря. Сколько равных по значимости, а возможно и более ценных книг и документов все еще скрыто от нас? Стоит на пыльных полках в архивах и библиотеках, упрятано в запасники музеев, заперто в несгораемых шкафах коллекционеров? Сколько тайн хранят нерасшифрованные клинописные таблички и надписи на стенах древних сооружений?

Если написанный в 200-х годах до нашей эры текст ни много ни мало через две тысячи лет мог все еще считаться революционным, нет ли древних трудов, которые могут дать существенный толчок науке и технологиям и в наши дни? Мы рискуем и это никогда не узнать, если не избавимся от высокомерно-невежественного представления о "примитивности" наших предков.

Напомним, что также мы рассказывали о тайных знаниях древних жрецов, умевших и

Георгий Халецкий

• 6172 просмотра