Теория оптимального распределения ресурсов канторович суть. Научная электронная библиотека. Особенности жизни, деятельности, вклада в науку, экономико-математических теорий Л.В. Канторовича. Анализ начального этапа истории линейного программирования, заро

К середине XX века экономисты-теоретики игнорировали математические подходы и обоснование. Но математические исследования продолжались, и были достигнуты блестящие результаты. В 1975 г.. Лучшие представители математической школы советский ученый Л. Канторович и американский профессор Т.-Ч. Купманс были отмечены Нобелевской премией.

Канторович (1912-1986) родился в Петербурге. В 1930 г.. Окончил Ленинградский университет, а уже через четыре года ему присвоили звание профессора. Работал в Ленинградском институте инженеров промышленного строительства, был заведующим кафедрой Высшего инженерно-технического училища, профессором Ленинградского университета. В 1958 г.. Вместе с В. Немчиновым он создал Лабораторию по применению статистических и математических методов в экономике. В том же году Л. Канторовича был избран членом-корреспондентом, а в 1964 г.. - Действительным членом Академии наук СССР.

Автор трудов "Методы приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных" (совместно с В. Крыловым, 1936), "Функциональный анализ в привел упорядоченных пространствах" (совместно с Б. Вулихе и А. Пинскером, 1949), "Функциональный анализ и прикладная математика "(1948)," Экономический расчет наилучшего использования ресурсов »(1959)," Функциональный анализ в нормированных пространствах »(совместно с Г. Акиловым), выдержавшей несколько изданий в СССР и за рубежом," Динамическая модель оптимального планирования "(1967), "Ценообразование и технический прогресс" (1979) и многие другие.

Почетный член Международного эконометрического общества, почетный доктор Гренобльском, Хельсинкского, Йельского, Парижского, Кембриджского, Пенсильванского университетов, а также университетов в Варшаве, Глазго, Мюнхене, Ницце и имени Мартина Лютера в Галле, Статистического института в Калькутте. Лауреат Нобелевской премии (1975).

Купманс Тьяллинг-Чарльз (1910-1985) родился в Грейвленди (Голландия). С 1927 по 1933 получал образование в Утрехтском университете. С 1934 г.. В Амстердамском университете готовил докторскую диссертацию "Линейный регрессивный анализ экономических временных поясов", которую защитил в 1936 в Лейденском университете. Преподавал экономику и вел научно-исследовательскую деятельность в Нидерландском экономическом институте в Роттердаме. Два года (1938-1940) работал экспертом Лиги Наций по вопросам денежного обращения. В 1940 г.. Он эмигрировал в США, преподавал в Нью-Йоркском, Чикагском, Гарвардском университетах.

Наибольшее признание получили его книги "Статистический вывод о динамических моделей" (1950), "Три очерка о состоянии экономической науки" (1975) и многие другие.

Был членом Эконометрического общества США. В 1950 г.. Избирался президентом Международного эконометрического общества. В течение 1955-1981 гг. Работал профессором экономики Йельского университета. Заслуженный член Американской экономической ассоциации, почетный профессор Йельского института, ему присвоены почетные ученые степени Нидерландской школы экономики, Лувенского католического, Север-но-Западного и Пенсильванского университетов. Лауреат Нобелевской премии (1975).

Основой теории оптимального распределения ресурсов является метод линейного программирования, впервые обоснован Л. Канторовичем новый раздел математики, распространился в экономической практике, способствовал развитию и использованию электронно-вычислительной техники. Сутью метода является максимизации за ограниченных ресурсов. Условия задачи на оптимум и цель, которую надо достичь, можно выразить с помощью системы линейных уравнений. Неизвестные в них только первой степени; ни неизвестно НЕ умножается на другое неизвестное. Такие уравнения выражают зависимости, изображают на графике прямыми линиями. Поскольку уравнений меньше, чем неизвестных, то задача обычно имеет не одно, а множество решений. Найти же нужно одно, по математической терминологией экстремальное, решения. Так, в задачи по оптимизации выпуска фанеры Л. Канторович представил переменную, которую следует максимизировать в виде суммы стоимостей продукции, произведенной всеми станками. Ограничители были сформулированы в виде уравнений, устанавливают соотношение между всеми факторами, расходуются в производстве (древесиной, клеем, электроэнергией, рабочего времени), и количеством произведенной продукции (фанеры) на каждом из станков. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные решая множителями, или мультипликаторами. С их помощью решают поставленные задачи. Если известны значения решающих множителей, то искомые величины, в частности оптимальный объем производимой продукции, можно легко вычислить.

Л. Канторович обосновал экономическую суть предложенных им коэффициентов (решающих множителей) как предельных стоимостей ограничивающих факторов - это объективно значимые цены каждого из факторов производства применительно к условиям конкурентного рынка. Для решения задачи на оптимум ученый использовал метод последовательных приближений, последовательного сопоставления вариантов с выбором лучшего в соответствии с условиями задачи.

Впервые основы теории оптимального распределения ресурсов был опубликован в 1939 году. В работе "Математические методы организации и планирования производства". В ней Канторович предложил принципиально новый класс экстремальных задач с ограничениями, разработав эффективный метод их решения. Ученый сформулировал задачу составления плана и системы цен как взаимосвязанных компонентов неделимой двоедности, что было большим достижением, ведь одновременно минимизация затрат и максимизация результатов невозможно. В то же время оба этих подхода взаимосвязаны: если, например, найдена оптимальная схема перевозок, то ей соответствует определенная система цен; если определенные оптимальные значения цен, то можно получить схему перевозок, отвечает требованиям оптимальности.

Термин "развязывающие множители" в дальнейшем был интерпретирован Л. Канторовичем и сформулирован как объективно обусловленные оценки. Они не произвольные, их величины должны объективно обусловлен характер, задаются конкретными условиями задачи. Значение объективно обусловленных оценок подходят только для одной задачи. Ученый предлагал рассчитывать их при разработке планов; на эти показатели призваны опираться предприятия при расчете затрат и объемов производства соответствующей продукции. Объективно обусловленные оценки корректируются в зависимости от соотношения спроса и объемов производства. Внедрены в практику планирования и управления расчеты должны оп-тимизуваты использования ресурсов.

Задачи линейного программирования были известны еще с конца XVIII в. Однако их начали розвьязувати.лише после выхода в свет работ Л. Канторовича, который стал первооткрывателем линейного программирования. В США исследования по линейного программирования начались в конце 40-х годов XX века * Транспортная задача Хичкока и симплекс-метод Данцига (близкие к методу решения задач линейного программирования Канторовича) были разработаны на десятилетия позже.

В 50-е годы Л. Канторович, обобщив свои исследования, расширил сферу анализа и опубликовал книгу "Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» (1959), первый вариант которой был подготовлен еще в 1942. В ней и в последующих статьях он применил свой метод линейного программирования для исследования широкого круга проблем планирования, в частности на национальном уровне.

Научный вклад Л. Канторовича - это знаменитые научные школы в области функционального анализа, вычислительной математики, математической экономики и оптимального планирования народного хозяйства. Открытое им математическое программирование широко используется для решения равных задач в экономике, физике, энергетике, геологии, биологии, механике и теории управления. Он был одним из основоположников современного экономико-математических-ного направления в экономической науке.

Метод линейного программирования впервые позволил точно сформулировать важное современное экономико-математическое понятие "оптимальность". Л. Канторович и его коллеги разработали систему оптимального функционирования экономики (СОФЭ) сформировали модели эффективного распределения и оценки ресурсов. С позиций теории двойственности Л. Канторович еще в 50-е годы рекомендовал рассчитывать для планового периода оптимальную оценку капиталовложений.

Он дал ей экономическое объяснение и показал ее значение в хозяйственном управлении. Это был научно обоснованный подход к вычислению числового значения единого народнохозяйственного экономического норматива эффективности использования капитальных вложений, который намного опередил свое время.

Несколько позже, но независимо от Л. Канторовича, предложил подобную методологию Т.-Ч. Купманс. В 1944-1945 гг. Он разработал план торгово-го мореплавания, что минимизировал возможность опасного торпедирования пустых грузовых судов фашистскими подводными лодками. Целью он выбрал минимизацию порожнего пробега судов и решил задачу методом проб и ошибок. Купманс доказал, что экономическая задача совпадает с математической задачей минимизации линейной функции. Эту аналитическую методику ученый впервые описал в 1942 году. Под названием "Соотношение между грузопотоками на разных маршрутах". Он показал, что названную проблему нужно рассматривать как линейную функцию максимизации в рамках многих ограничений. Ограничения были представлены математическими уравнениями, выражающими отношение количества расходных факторов производства (амортизации судов, времени, трудовых затрат) с количеством доставленных в различные пункты назначения грузов. При этом величина любых расходов не должна превышать сумму стоимости доставленных в каждый порт грузов. Ученый заметил суть принципа линейного программирования, которая заключалась в том, что в оптимальном случае и при идеальных оценок всех ресурсов затраты и результаты будут равными. Итак, Т.-Ч. Купманс использовал математический инструментарий и создал метод определения оптимального распределения ресурсов между конкурирующими потребителями, по которому можно было, например, рассчитать затраты на доставку миллионов тонн грузов, которые перевозят тысячи судов морскими путями в сотни портов. Метод Купманса, названный "анализом деятельности фирмы", вошел в общую методологию линейного программирования. В дальнейшем ученый разрабатывал и популяризировал методы линейного программирования. Благодаря его усилиям 20-24 июня 1949 в Чикаго была организована первая специальная конференция с линейного программирования.

У1950 г.. Т.-Ч. Купманс с другими исследователями окончательно разработали так называемый метод "анализа деятельности фирмы". Модели этого типа такие же, как и межотраслевые, линейные, однако в них каждый вид производственной деятельности может быть связано с выпуском нескольких товаров, и существует возможность выбора между различными технологиями производства каждого вида продукции. Производственная модель типа анализа деятельности фирмы, как правило, содержит гораздо больше степеней свободы, чем обычная модель межотраслевого баланса, благодаря чему открываются природные возможности для оптимизации. Именно поэтому анализ деятельности фирмы развивался в тесной связи с линейным программированием.

Теория оптимального распределения ресурсов, учредителями которой являются Л. Канторович и Т.-Ч. Купманс, определяет модель производственного процесса, с помощью метода линейного программирования обеспечивает выбор из нескольких возможных такого варианта, который максимизирует выпуск продукции не только на уровне предприятия, но и на макроэкономическом уровне.

Как известно, в практике хозяйственной деятельности выбор между различными вариантами (планами, решениями) предполагает поиск наилучшего. Когда хозяйка отправляется на рынок для закупки мяса, а проектировщик стремится найти оптимальный способ размещения станков, они занимаются поисками вариантов, требующих минимума затрат или максимума результата с учетом определенных ограничений (денег, ресурсов, времени).
Решить подобную задачу бывает непросто, особенно при наличии большого числа вариантов. Время и затраты при выборе оптимума не всегда оправданны: издержки поиска и перебора вариантов могут превысить достигнутый выигрыш.
Как показывает практика, опыт и интуиция оказываются недостаточными для обоснования оптимального решения.
138
Более надежный и эффективный способ - использование мате-матических (количественных) подходов и расчетов. Однако математические подходы и обоснования длительное время игнорировались теоретиками, делавшими “погоду” в экономической науке. Многие важные работы были заморожены, публикации экономистов-математиков тормозились и ограничивались. И все же в тот период математические изыскания продолжались, даже в условиях гонения на математиков были достигнуты блестящие результаты.
Одним из наиболее значительных и ярких достижений в области экономико-математических исследований было открытие Леонидом Витальевичем Канторовичем (1912-1986) Метода линейного программирования. Линейное программирование - решение линейных уравнений (уравнений первой степени) посредством составления программ и применения различных методов их последовательного решения, существенно облегчающих расчеты и достижение искомых результатов.
За разработку метода линейного программирования, или, как сказано в дипломе Шведской академии наук, за “вклад в теорию оптимального распределения ресурсов”, Л. В. Канторович - единственный из советских экономистов - был удостоен Нобелевской премии по экономике (1975 г.). Премия была присуждена ему совместно с американским экономистом Тьяллингом Чарльзом Купмансом; который несколько позже, независимо от Канторовича, предложил сходную методологию.
Разработка линейного программирования началась с поиска решения практической задачи. К Канторовичу обратились инженеры фанерного треста с просьбой найти эффективный способ распределения ресурсов, обеспечивающий наиболее высокую производительность оборудования. Работники предприятия ломали голову над тем, как при пяти станках, восьми видах сырья обеспечить оптимальный вариант выпуска фанеры. Иными словами, нужно было найти решение конкретной технико-экономической задачи с целевой функцией (“функциона-лом”) - максимизировать выпуск готовой продукции.
Заслуга Канторовича в том, что он предложил математический метод выбора оптимального варианта. Решая частную задачу наиболее рациональной загрузки оборудования, ученый разработал метод, получивший название метода линейного программирования. По сути дела, он открыл новый раздел в ма-тематике, получивший широкое распространение в экономи-
139
ческой практике; способствовавший развитию и использование электронно-вычислительной техники.
Канторович не был “чистым” экономистом, но прекрасно понимал, какое значение имеет метод максимизации при ограниченных ресурсах, а значит, и создание математической основы для решения типичных хозяйственных задач.
Условия задачи на оптимум и цель, которая должна быть достигнута, могут быть выражены с помощью системы линейных уравнений. Поскольку уравнений меньше, чем неизвестных, задача обычно имеет не одно, а множество решений. Найти же нужно одно, согласно терминологии математиков, экстремальное решение.
В задаче по оптимизации выпуска фанеры Канторович представил переменную, которую следовало максимизировать в виде суммы стоимостей продукции, производимой всеми станками. Ограничители были представлены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми затрачиваемыми в производстве факторами (древесиной, клеем, электроэнергией, рабочим временем) и количеством выпускаемой продукции (фанеры) на каждом из станков. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные разрешающими множителями, или мультипликаторами. С их помощью разрешается поставленная задача. Если известны значения разрешающих множителей, то искомые величины, в частности, оптимальный объем выпускаемой продукции, могут быть срав-нительно легко найдены.
Канторович обосновал экономический смысл предложенных им коэффициентов (разрешающих множителей). Они представляют не что иное, как предельные стоимости ограничивающих факторов. Иначе говоря, это объективно значимые цены каждого из факторов производства применительно к условиям полностью конкурентного рынка.
Для решения задачи на оптимум Канторович использовал метод последовательных приближений, последовательного сопоставления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи.
Допустим, требуется решить транспортную задачу, обосновать наиболее рациональное распределение грузопотоков. Для примера, всего нужно перевезти 180 т груза из трех источников к трем потребителям, общий спрос которых также равен 180 т. Сложность в том, что груз распределен неравномерно: у одного поставщика имеется 50 т, у другого - 60, у третьего - 70 т.
140
Также неравнозначен спрос потребителей, он составляет соответственно 40, 85 и 55 т. Неодинаковы и расстояния (плечи) перевозки грузов - от 1 до 6 км. Задача заключается в том, чтобы составить такой план перевозок, который отвечал бы требованию минимизации грузооборота (минимальному коли-честву тонно-километров).
Как решить эту задачу? В повседневной практике менеджеры могут заняться монотонной работой по длительному перебору возможных вариантов. Постепенно они смогут прийти от плана перевозок, скажем, 750 т/км к плану 655 т/км. Поиск потребует массу усилий, значительного количества расчетов. Главное же, трудно установить, какой из предлагаемых вариантов” является оптимальным. Допустим, найден вариант плана с грузооборотом в 575 т/км. Но остается неизвестным, есть ли еще один или несколько более выгодных вариантов плана, требующих меньших затрат.
Задача становится совсем неразрешимой, если перейти от сравнительно простой схемы к постановке задания по состав-лению варианта перевозок одного или нескольких продуктов (угля, цемента, стройматериалов) в масштабе региона или страны. Даже в случае укрупнения, агрегирования исходных по-казателей (количество отправителей и получателей массовых трудов) окажется, что только сетевая схема будет охватывать десятки тысяч агрегированных пунктов, а расчеты и сопостав-ление вариантов потребуют проведения такого количества операций, для осуществления которых придется привлечь чуть ли не все население России.
Впервые работа, в которой излагалась сущность предложенного Канторовичем метода, была опубликована в 1939 г. под названием “Математические методы организации планирования производства”. Продолжая исследования, ученый разрабатывает общую теорию рационального использования ресурсов.
В период Великой Отечественной войны Канторович, будучи профессором Военно-морской инженерной академии в блокадном Ленинграде, обосновывает, опираясь на метод линейного программирования, оптимальное размещение производственных и потребительских факторов. Подготовленная им в 1942 г. книга “Экономический расчет наиболее целесообразного использования ресурсов”, к сожалению, в тот период не была опубликована.
Позже издается одна из наиболее крупных его работ “Экономический расчет наилучшего использования ресурсов” (1959).
141
В этой книге, как отмечали члены Научного совета по применению математики в научных исследованиях и планировании, представлен углубленный анализ идей линейного прграммирования, разработанного автором ранее, и вместе с тем впервые ставится проблема разработки оптимального плана всего народного хозяйства как математической модели39.
Несомненной заслугой Канторовича является выявление двойственных оценок в задачах линейного программирования Нельзя одновременно минимизировать затраты и максимизировать результаты. Одно противоречит другому. Вместе с тем оба этих подхода взаимосвязаны, если, скажем, найдена оптимальная схема перевозок, то ей соответствует определенная система цен. Если найдены оптимальные значения цен, то сравнительно нетрудно получить схему перевозок, отвечающую требованию оптимальности.
Для любой задачи линейного программирования существует сопряженная ей, или двойственная, задача. Если прямая задача заключается в минимизации целевой функции, то двойственная - в максимизации.
Двойственные оценки дают принципиальную возможность соизмерять не только ценовые, затратные показатели, но и полезности. При этом двойственные, взаимосвязанные оценки соответствуют конкретным условиям. Если изменяются условия, то изменяются и оценки. В известной мере поиск оптимума - это определение общественно необходимых затрат, учитывающих, с одной стороны, трудовые, стоимостные затраты, а с другой стороны, общественные потребности, полезности продукта для потребителей.
При знакомстве с работами по линейному программированию можно встретиться с некоторыми терминологическими тонкостями. Первоначально использованный Канторовичем термин “разрешающие множители” в последующих работах получает несколько иную интерпретацию и другую формулировку, а именно объективно обусловленные оценки. Эти оценки не произвольны, их величины носят объективно обусловленный характер, они задаются конкретными условиями задачи. Значения объективно обусловленных оценок годятся только для данной задачи,
Канторович предлагал рассчитывать их при разработке планов; на эти показатели призваны опираться предприятия при расчете затрат и объемов выпуска тех или иных видов продукции. Объективно обусловленные оценки корректируются в
142
зависимости от соотношения спроса и объемов производства. Такого рода расчеты, внедренные в практику планирования и управления, призваны оптимизировать использование ресурсов.
Идеи и предложения, выдвигавшиеся Канторовичем, предусматривали использование в практике хозяйствования рыночных категорий. По сути, в то время шел поиск, формировались предпосылки концептуальной основы реформирования существующей экономической системы.
При активном участии Канторовича и его ближайших коллег и друзей - Виктора Валентиновича Новожилова (1892- 1970), Василия Сергеевича Немчинова (1894-1964) во, второй половине 50-х - начале 60-х гг. формируется отечественная экономико-математическая школа. Все трое продолжали разработку методов линейного программирования, строили экономические модели, перейдя затем к разработке системы мо-делей, получивших название СОФЭ (системы оптимального функционирования экономики).

До середины ХХ в. экономисты-теоретики игнорировали математические модели исследования. Однако, несмотря на притеснения, математики продолжали работать и достигли блестящих результатов. Среди них - представители математической школы Л. Канторович и Т.-Ч. Купманс.
Канторович (Kantorovich) Леонид Витальевич (1912-1986) - советский экономист, лауреат Нобелевской премии (1975). Родился в Петербурге, учился в Ленинградском университете. В 1930 г. Л. Канторович был участником Всесоюзного математического съезда. В этом же году закончил университет, а уже через четыре года ему присвоили звание профессора. В 1930-1939 гг. работал в Ленинградском институте инженеров промышленного строительства, потом (до 1948) - заведующим кафедрой Высшего инженерно-технического училища.
В 1935 г. стал доктором физико-математических наук; до 1960 г. он - профессор Ленинградского университета. Ему принадлежат первоклассные результаты по функциональному анализу, теории функций, вычислительной математике. Широкое признание приобрели его работы по дескриптивной теории функции и теории множества, по конструктивной теории функций, приблизительным методам анализа; он заложил основы нового направления функционального анализа - теории полуупорядоченных векторных пространств, которые названы «К-пространствами». Феномен Л. Канторовича в том, что он одновременно был талантливым математиком и экономистом, который внес коррективы в понимание экономических явлений, расширил экономическое мышление, стал основоположником оригинальной экономической школы.
В 1958 г. вместе с В. Немчиновым Л. Канторович создал Лабораторию по внедрению статистических и математических методов в экономике.
Л. Канторович принимал участие в создании Сибирского отделения Академии наук СССР. Осенью 1960 г. в Ленинграде возглавил группу математиков и экономистов, которая переехала в Новосибирск и вошла в состав Института математики Сибирского отделения АН СССР как математико-экономический отдел. Одновременно работал профессором Новосибирского университета. В 1971 г., переехав в Москву, ученый возглавлял Проблемную лабораторию в Институте управления народным хозяйством Государственного комитета Совета Министров СССР по науке и технике.
Является автором работ: «Методы приблизительного решения дифференциальных уравнений в частных производных» (в соавторстве с В. Крыловым) (1963), «Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах» (в соавторстве с Б. Вулихом и А. Пинскером) (1949), «Функциональный анализ и прикладная математика» (1948), «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» (1959), «Функциональный анализ в нормированных пространствах» (в соавторстве с Г. Акиловым), «Динамическая модель оптимального планирования» (1967), «Ценообразование и технический прогресс» (1979) и др.
Л. Канторович - почетный член Международного Эконометрического общества, почетный доктор Гренобльского, Хельсинского, Йельского, Парижского, Кембриджского, Пенсильванского университетов, а также университетов в Варшаве, Глазго, Мюнхене, Ницце и имени Мартина Лютера в Халле, Статистического института в Калькутте. Награжден двумя орденами Ленина.
Важнейшим вкладом Л. Канторовича явилась теория оптимального распределения ресурсов.
Теория оптимального распределения ресурсов - теория, которая предусматривает формулирование статистической и динамической моделей текущего и перспективного планирования использования ресурсов на базе новых математических подходов в сфере системного построения экономических показателей, используемых для анализа ценообразования, эффективности капитальных вложений.
Впервые основы теории оптимального распределения ресурсов он изложил в работе «Математические методы организации и планирования производства» (1939). В ней он представил принципиально новый класс экстремальных задач с ограничениями, разработав эффективный метод их решения. Именно в это время ученый сформулировал задачу составления плана и системы цен как взаимозависимых компонентов неделимой двойственности. Ведь время невозможно одновременно минимизировать издержки и максимизировать результаты. Одновременно эти два подхода взаимосвязаны: если найдем оптимальную схему перевозок, то ей соответствует определенная система цен. Если определим оптимальные значения цен, то сравнительно легко получить схему перевозок, что соответствует требованиям оптимальности.
Основой этой теории является метод линейного программирования.
Линейное программирование - решение линейных уравнений (уравнений первой степени) путем сложения программ и внедрения разных методов их последовательного решения, что существенно облегчает расчеты и достижение результатов.
Его началом стал поиск решения практической задачи. В 1937 г. к профессору Ленинградского университета Л. Канторовичу обратились инженеры местного фанерного треста с просьбой найти эффективный способ для обеспечения наивысшей производительности труда. Для обработки 5 видов материала выделили 8 станков с определенной производительностью каждого из них по каждому виду материала.
Другими словами, нужно было решить конкретную технико-экономическую задачу с целевой функцией («функционалом») - максимизировать выпуск готовой продукции. Известными на тот момент методами это сделать было трудно, поскольку было необходимо решить почти миллиард алгебраических уравнений. Л. Канторович предложил метод линейного программирования, который стал новым разделом в математике и получил признание в экономической практике, способствовал развитию и использованию электронно-вычислительной техники.
Ученый понимал важность создания математической основы для решений типовой хозяйственной задачи. Условия задачи на оптимальность и цель могут выражаться с помощью системы линейных уравнений. Неизвестные в них только первой степени; ни одно неизвестное не умножается на другое неизвестное. Такие уравнения выражают зависимости, которые можно изобразить на графике прямыми линиями. Поскольку уравнений меньше, чем неизвестных, то задача имеет несколько вариантов решения, а найти необходимо один.
В задаче по оптимизации выпуска фанеры Л. Канторович ввел переменную, которую следует максимизировать, в виде суммы стоимостей продукции, произведенной всеми станками. Ограничения были изложены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми факторами, затрачиваемыми в производстве (деревом, клеем, электроэнергией, рабочим временем), и количеством произведенной продукции (фанеры) на каждом станке. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные «решающими множителями» (мультипликаторами). С их помощью решается поставленная задача. Если значения решающих множителей известны, то необходимые величины, в частности оптимальный объем производимой продукции, можно сравнительно легко найти.
Л. Канторович обосновал экономическую сущность предлагаемых им решающих множителей. Они, собственно, являются предельными стоимостями ограничивающих факторов. То есть это объективные цены каждого из факторов производства относительно условий конкурентного рынка. Для решения задачи на оптимальность ученый использовал метод последовательных приближений, последовательного сопоставления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи.
Внедренный Л. Канторовичем термин «решающие множители» в более поздних трудах получил несколько другую интерпретацию и другую формулировку - «объективно обусловленные оценки». Эти оценки не произвольны, их величины объективно обусловлены, они задаются конкретными условиями задачи. Значения этих оценок подходят только для конкретной задачи и, в отличие от цен, задаются не извне, а определяются самим предприятием для внутреннего пользования. Ученый предлагал рассчитать их в разработке планов; на эти показатели могут опираться предприятия при расчете затрат и объемов производства продукции. Объективно обусловленные оценки корректируются в зависимости от соотношения спроса и объемов производства. Внедренные
в практику планирования и управления такие расчеты должны оптимизировать использование ресурсов.
Задачи линейного программирования были известны еще в конце ХVIII в. Однако начали решать их только после публикаций работ Л. Канторовича. В США исследования по линейному программированию начались только в конце 40-х годов ХХ в. Транспортная задача Хичкока и симплекс-метод Данцига, которые близки по характеру к методу решения задач линейного программирования Канторовича, были разработаны на десятилетие позднее.
На оригинальный подход Л. Канторовича до 50-х годов почти не реагировали. Обобщив свои исследования, он расширил сферу анализа.
В работе «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» и в следующих работах он внедрил свой метод линейного программирования для исследования широкого круга проблем планирования, в том числе и на национальном уровне.
Несколько позднее, но независимо от Л. Канторовича подобную методологию предложил Т.-Ч. Купманс.
Купманс (Koopmans) Тъяллинг-Чарльз (1910-1985) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1975). Родился в Гравеланде (Нидерланды). Получил образование в Утрехтском университете. Увлекался сначала математикой и физикой, работал физиком, а под впечатлением от Великой депрессии начал заниматься экономикой.
С 1934 г. в Амстердамском университете изучал проблему общего равновесия. Докторскую диссертацию на тему «Линейный регрессивный анализ экономических временных рядов» защитил в 1936 г. в Лейденском университете. Преподавал экономику и занимался научно-исследовательской деятельностью в Нидерландском экономическом институте в Роттердаме.
В 1938-1940 гг. работал экспертом Лиги Наций по вопросам денежного оборота. Эмигрировал в США. Преподавал в Нью-Йоркском, Чикагском, Гарвардском университетах. С 1955 г. - профессор экономики Йельского университета. В 1950 г. был избран президентом Международного эконометрического общества, а в 1978 г. - президентом Американской экономической ассоциации.
Т.-Ч. Купманс был редактором и соавтором одного из первых фундаментальных трудов по линейному программированию «Анализ деятельности производства и распределения» (1951).
Ученому принадлежат важные достижения в разработке теории капитала, операционного анализа. Отдельные свои труды он посвятил оптимальному распределению производственных ресурсов, статистической оценке параметров в экономико-математических моделях.
Его детище - работы по статистике и математической экономике. Наибольшее признание получили работа «Анализ деятельности производства и распределения», подготовленная группой авторов под его руководством, а также работы «Статистическое заключение в динамических моделях экономики» (1950), «Три эссе о состоянии экономической науки» (1957) и др.
Т.-Ч. Купманс - заслуженный член Американской экономической ассоциации, почетный профессор Йельского университета, ему присвоены почетные ученые степени Нидерландской школы экономики, Северо-Западного и Пенсильванского университетов, Католического университета Лувена.
В 1944-1945 гг. по поручению англо-американского объединенного совета по регулированию мореплавания Т.-Ч. Купманс разработал план торгового мореплавания, который минимизировал возможность опасного торпедирования пустых грузовых суден фашистскими подводными лодками. Целью была минимизация холостого пробега суден.
Эту тему он затронул в работе «Соотношение между грузопотоками по различным маршрутам» (1942). Ученый показал, что проблему следует рассматривать как линейную функцию максимизации в пределах многих ограничений. Ограничения представил математическими уравнениями, которые выражают отношение количества затраченных факторов производства (амортизации суден, времени, трудовых затрат) к количеству доставленных в разные пункты назначения грузов. При этом величина любых затрат не может превышать явную сумму стоимости грузов, доставленных в каждый порт. Ученый пришел к выводу, что суть принципа линейного программирования заключается в том, что в оптимальном случае и по идеальным оценкам всех ресурсов издержки и результаты будут равными.
Работая в британской торговой миссии в Вашингтоне, Т.-Ч. Купманс использовал математический инструментарий и создал метод определения оптимального распределения ресурсов между конкурирующими потребителями. По этому методу можно было, например, рассчитать издержки на доставку миллионов тонн грузов, которые перевозятся тысячами суден морскими путями в сотни портов. Метод Т.-Ч. Купманса, который был назван «анализом деятельности фирмы», вошел в общую методологию линейного программирования.
В 1947 г. ученый озвучил свои выводы на международной конференции по статистике. В то время он активно разрабатывал и популяризировал методы линейного программирования. При его содействии в 1949 г. в Чикаго была проведена первая специальная конференция по линейному программированию.
В 1950 г. Т.-Ч. Купманс вместе со своими сторонниками завершили формулирование метода анализа деятельности фирмы. Модели этого типа так же, как и межотраслевые, линейные, однако у них каждый вид производственной деятельности может быть связан с выпуском нескольких товаров. К тому же существует возможность выбора между разными технологиями производства каждого вида продукции. Производственная модель типа анализа деятельности фирмы, как правило, содержит больше степеней свободы, чем обычная модель межотраслевого баланса, благодаря чему появляются естественные возможности для оптимизации. Именно поэтому анализ деятельности фирмы развивался в тесной связи с линейным программированием.

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Л.В. Канторович - экономист - внес выдающийся вклад в экономическую науку. С его именем связан естественнонаучный подход к исследованию широкого круга проблем планирования. Л.В. Канторович заложил фундамент современной теории оптимального планирования. Развернутому изложению основных идей этой теории посвящена его капитальная монография “Экономический расчет наилучшего использования ресурсов” . Стержнем этой книги является формулировка основной задачи производственного планирования и динамической задачи оптимального планирования. Указанные задачи достаточно просты, но в то же время учитывают важнейшие черты экономического планирования. Одно из привлекательных качеств состоит в том, что они базируются на схеме линейного программирования и, следовательно, на развитом аналитическом аппарате и обширном наборе эффективных вычислительных средств, часть из которых предложил сам Леонид Витальевич.

Значителен его вклад в проблему ценообразования - одну из коренных, затрагивающую, по существу, все сферы функционирования общества. Л.В. Канторович установил связь цен и общественно-необходимых затрат труда. Он дал определение понятия оптимума, оптимального развития, конкретизировав, в частности, что следует понимать под максимальным удовлетворением потребностей членов общества. Из его положения о неразрывности плана и цен вытекает зависимость общественно-необходимых затрат труда от поставленных целей общества.

Таким образом, цели общества, оптимальный план и цены составляют одно неразрывное целое. Им указаны конкретные условия, при которых объективно обусловленные оценки оптимального плана совпадают с полными (прямыми и сопряженными) затратами труда. Определение перспектив экономики, наличие гигантских “естественных монополий” заставляет сохранить для них расчет, по крайней мере, опорных цен, согласованных и взаимно, и с интересами других отраслей экономики.

Математические модели получили отражение в некоторых курсах политической экономии. В работах Л.В. Канторовича исследовался ряд основных проблем экономической теории и практики хозяйствования. Указывая на недостатки действовавшей экономической системы, Л.В. Канторович подчеркивал, что система экономических показателей должна быть единой, построена по единому принципу. В связи с этим значительную часть своих работ в этой области Леонид Витальевич посвятил разработке и анализу конкретных экономических показателей.

В работах самого Л.В. Канторовича особое внимание было уделено оценке земельных ресурсов и воды, учету этих показателей в (заготовительных) ценах на сельскохозяйственную продукцию. Предложены оригинальные подходы к их расчету (сочетание метода наименьших квадратов и линейного программирования). На этой основе были даны рекомендации по улучшению системы экономических показателей и расчетов в сельском хозяйстве. Значение предложенных им принципов расчета в складывающейся экономической системе только возрастает.

В работах Л.В. Канторовича вскрывается сущность понятия показателя эффективности капиталовложений, показывается его роль в экономических расчетах принятия решений, предлагается методика определения величины этого нормативного показателя. Таким образом, Л.В. Канторович дал убедительное научное обоснование необходимости применения норматива эффективности и на основе оптимизационного подхода дал объективный путь его расчета.

В работе “Амортизационные платежи при оптимальном использовании оборудования” (1965) Л.В. Канторовичем была вскрыта сущность понятия амортизации. Он показал, как можно повысить эффективность использования оборудования, разделив амортизационные платежи на два типа, и с помощью остроумной математической модели указал, как определить численную величину коэффициента амортизационных отчислений. Это изменение позволило сделать ряд принципиальных выводов о необходимости корректировки принятой методики расчета амортизации.

Специальный интерес проявлял Леонид Витальевич к проблемам транспорта. Еще в его первых экономических работах были даны общий анализ транспортной задачи и метод потенциалов для ее решения. Этот метод широко использовался на транспорте (железнодорожном, автомобильном, морском, воздушном) и в органах централизованного снабжения для рационального прикрепления и рациональной организации перевозок. Он, безусловно, сохраняет свое значение и сейчас наряду с широко используемыми методами диспетчерского управления и расчетами маршрутов.

В работах “Об использовании математических моделей в ценообразовании на новую технику” (1968) и “Математико-экономический анализ плановых решений и экономические условия их реализации ” (1971) Л.В. Канторович исследовал проблему эффективной работы транспорта с экономической точки зрения, показал, каковы должны быть транспортные тарифы в зависимости от вида транспорта, груза, расстояний и т. д. В ряде работ им рассматривались и вопросы комплексной транспортной системы - взаимосвязь транспорта с другими отраслями народного хозяйства и распределение перевозок между видами транспорта с учетом экономичности и в особенности энергозатрат. Эти работы сохраняют свое значение и сейчас.

Помимо проблем народнохозяйственного планирования, Л.В. Канторович рассмотрел вопросы, относящиеся к отраслевому планированию. Наиболее простой и часто используемой является предложенная им модель, базирующаяся на транспортной задаче. На ряд более сложных моделей, в частности производственно-транспортной, динамической, декомпозиционной, им указано в работах, посвященных текущему и перспективному отраслевому планированию (“Возможности применения математических методов в вопросах производственного планирования”, 1958) и др. Эти вопросы нашли отражение в исследованиях по отраслевым АСУ.

Большое внимание Леонид Витальевич уделял вопросам рационального использования труда. Им было предложено введение платежей предприятий за использование труда дифференцированных по профессиям, половозрастным признакам и территории. Он указывал также на возможности научного, количественного подхода к социальным проблемам, вопросам совершенствования сферы услуг и др. Вопросы экономического стимулирования рационального использования трудовых ресурсов остаются актуальными и сейчас.

В течение ряда лет и особенно в последние годы Л.В. Канторовича интересовали проблемы эффективности технического прогресса, в частности вопросы внедрения в производство новой техники.

Особый интерес представляет обоснование предложения об установлении двух уровней цен на принципиально новую продукцию в первые годы ее выпуска. Важное значение имел также вывод о необходимости более высоко оценивать вклад в национальный доход технического прогресса и науки, чем это получалось по принятым тогда методам расчета (“Ценообразование и технический прогресс”, 1979).

Л.В. Канторович уделял большое внимание внедрению разработанных им методов в экономическую практику. В первую очередь в этой связи следует отметить цикл работ, посвященных методам рационального раскроя материалов, начатый Леонидом Витальевичем еще в 1939 - 1942 гг. В 1948 - 1950 гг. эти методы были внедрены на Ленинградском вагоностроительном заводе имени Егорова, на Кировском заводе и распространены впоследствии на некоторых других предприятиях. Более широкому распространению методов рационального раскроя способствовал ряд проведенных по инициативе Л.В. Канторовича совещаний.

С 1964 г. по предложению Леонида Витальевича проводилась большая работа по внедрению системных методов расчета оптимальной загрузки прокатных станов в масштабах всей страны.

Являясь членом Государственного комитета по науке и технике, Л.В. Канторович вел большую организационную работу, направленную на совершенствование методов планирования и управления народным хозяйством. Он возглавлял Научный совет ГКНТ по использованию оптимизационных расчетов, состоял членом многих ведомственных советов и комиссий (по ценообразованию, транспорту и др.). Вклад Леонида Витальевича в исследование проблемы эффективности производства и, в частности, проблемы эффективности капитальных вложений исключительно велик.